四年级奥数题:100盏灯的问题

100盏灯的问题│五年级奥数题及答案

一个房间中有100盏灯,用自然数1,2,…,100编号,每盏灯各有一个开关。开始时,所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间,第1个人进入房间后,将编号为1的倍数的灯的开关按一下,然后离开;第2个人进入房间后,将编号为2的倍数的灯的开关按一下,然后离开;如此下去,直到第100个人进入房间,将编号为100的倍数的灯的开关按一下,然后离开。问:第100个人离开房间后,房间里哪些灯还亮着?

答案与解析:

  对于任何一盏灯,由于它原来不亮,那么,当它的开关被按奇数次时,灯是开着的;当它的开关被按偶数次时,灯是关着的;

  根据题意可知,当第100个人离开房间后,一盏灯的开关被按的次数,恰等于这盏灯的编号的因数的个数;

  要求哪些灯还亮着,就是问哪些灯的编号的因数有奇数个。显然完全平方数有奇数个因数。所以平方数编号的灯是亮着的。

  而四年级奥数题:100盏灯的问题内的完全平方数有四年级奥数题:100盏灯的问题,所以当第100个人离开房间后,房间里还亮着的灯的编号是:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100。

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